Zadania optymalizacyjne

Rachunek różniczkowy przydaje się także w zadaniach optymalizacyjnych, czyli takich, w których mamy znaleźć obiekt, w którym interesująca własność jest największa albo najmniejsza.

Cechą tą może być przaktycznie wszystko: pole (wielokąta), objętość (bryły), prędkość (pojazdu), opłacalność (systemu) itp.

Zadania optymalizacyjne rozwiązujemy układając funkcję opisującą zależność interesującej nas właściwości od warunków w jakich jest obiekt i licząc pochodną tej funkcji. Największa lub najmniejsza wartość może

a) znajdować się w którymś z ekstremów lokalnych
b) znajdować się na krańcach interesującego nas przedziału
c) w ogóle nie istnieć (wtedy, gdy przedział jest otwarty i w miarę zbliżania się do krawędzi uzyskujemy coraz lepszy wynik: np. największa wartość funkcji $${1}/{n}$$ w przedziale (0, 1).)

Aby sprawdzić, czy w ekstremum znajduje się wartość najmniejsza, czy największa, musimy obliczyć znak drugiej pochodnej (czyli pochodnej pochodnej). Jeśli jest dodatnia - znajduje się tam wartość najmniejsza, jeśli ujemna - najwięsksza.
Dlaczego?

1a
rys 1.

1b
rys 2.

1c
rys 3.


Na rysunku widać, że $$a$$ jest "ostatnim" punktem, gdzie funkcja jeszcze rosła.

Przykład: ze wszystkich prostokątów o obwodzie 2 wybrać taki o największym polu.

1) Najpierw musimy ustalić, co będzie naszą zmienną - tutaj przyjmijmy, że funkcja pola będzie zależała od długości jednego z boków - oznaczmy ją jako $$x$$. Drugi bok ma wtedy długość $$1-x$$. Pamiętajmy, że $$x ∈ (0,1)$$.

2) Pole prostokąta jest równe $$f(x) = x×(1-x) = x - x^2$$

3) Licząc pochodną tej funkcji otrzymujemy $$f'(x) = 1-2x$$

4) Pochodna ta ma pierwiastek w punkcie $${1}/{2}$$.

5) Dla małych x-ów (zbiegających do zera) pole zbiega do zera. Dla x-ów bliskich jedynki pole również zbiega do zera. (Granicą $$lim↙{x → 0} x(1-x)$$ jest 0, ponieważ pierwszy składnik iloczynu dąży do zera, a drugi jest ograniczony. Analogicznie w przypadku 1.)

6) Największa (lub najmniejsza) wartość znajduje się zatem w ekstremum lokalnym równym $${1}/{2}$$. Musimy jeszcze wiedzieć, czy jest to największa, czy najmniejsza wartość - obliczamy drugą pochodną równą $$(-2x)' = -2$$. Okazuje się, że największe pole ma prostokąt o bokach równych $${1}/{2}, {1}/{2}$$, czyli po prostu kwadrat.

Bardziej skomplikowane zadanie: znaleźć prostokąt o największym polu wpisany w okrąg o promieniu 1.

2
rys 4.

1) Naszą zmienną w tym zadaniu będzie odległość cięciwy $$AB$$ od środka okręgu - nazwijmy tę długość $$h$$. Ważne jest, że $$h ∈ (0,1)$$.

2) Zauważmy, że prostokąt można podzielić na 8 trójkątów prostokątnych, których pola łatwo nam będzie obliczyć.

3) Funkcja $$f(h)$$ liczy pole prostokąta w zależności od odległości h.
$$f(h) = 8×{1}/{2}×h×√{1^2 - h^2}$$

4) Policzmy pochodną tej funkcji (jest to funkcja złożona):
$$f'(h) = {4-8 h^2}/{√{1-h^2}}$$

5) Pierwiastki pochodnej znajdują się w punktach
$$x_1 ={1}/{√{2}}$$
$$x_2 = - {1}/{√{2}}$$

Interesuje nas jedynie pierwiastek leżący w przedziale $$(0,1)$$. Musimy jeszce sprawdzić, czy
a) dla x-ów zbiegających do 1 lub 0 pole nie rośnie - proste rachunki pokazują, że tak nie jest
b) w ekstremum znajduje się maksimum funkcji - tak rzezywiście jest, przekonujemy się o tym licząc znak drugiej pochodnej w tym punkcie
$$f''(x) = {4 h (2 h^2-3)}/{(1-h^2)^{3/2}$$

$$f''(x) = -16$$

Jak widać maksymalne pole ma prostokąt o jednym boku równym $$ 2h = {2}/{√{2} }$$ i drugim równym $$2×√{1^2+{1}/{ {√{2} }^2} } = {2}/{√{2}}$$, czyli po prostu kwadrat.

Komentarze