Portal w budowie! Premiera 1 września, zapraszamy!

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia służą głównie do skracania

W liceum używamy tylko i wyłącznie trzech wzorów, które warto znać i „widzieć”:

  • $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
  • $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
  • $$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$

Najważniejsze to zauważyć, że musimy zastosować dany wzór. Jeśli wyuczymy się tego na tyle, że układ liczb będzie nam mówił, że to ten a nie inny wzór, to dalej będzie z górki. Jak stosować te wzory? Podmianą! Warto pamiętać, że stosujemy je dwustronnie, zatem możemy natrafić na prawą bądź lewą stronę równania.

Przykład:

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{x-√2}$$.

Usunięcie niewymierności polega na usunięciu liczby niewymiernej z mianownika. Czyli tutaj chodzi nam o √2. Aby to zrobić skorzystamy ze wzoru nr 3 i własności mnożenia. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę, np. $$5*1=5$$

A jedynka to dwie dowolne takie same liczby w ułamku (w liczniku i mianowniku)

Skorzystamy z wzoru nr 3:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Musimy zrobić następujące działanie

$$1/{x-√2}×{x+√2}/{x+√2}$$

Zwróćmy uwagę na to, że drugi ułamek to jeden,

a także na zmianę znaku w mianowniku.

Mamy więc postać:

$${x+√2}/{(x-√2)(x+√(2)}$$

Jest jak widać podobieństwo w mianowniku do wzoru 3

Zróbmy więc podmianę

$$(x-√2)(x+√2)=(a-b)(a+b)$$

Zatem

$$a=x$$

$$b=√2$$

więc skoro:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

To podmieńmy a i b na nasze zmienne

$$a^2-b^2=x^2-{(√2)}^2=x^2-4$$

Zatem:

$$1/{x-√2}×{x+√2}/{x+√2}={x+√2}/{x^2-4}$$
 

Uwaga!

Pozostawienie niewymierności w mianowniku może być potraktowane jako rozwiązanie błędne, tak samo odpowiedzi w teście zamkniętym są konstruowane tak, aby wymusić niewymierność.

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

//reklama