Wartość bezwzględna - równania i nierówności

Ostatni temat w dziale równań i nierówności poświęcony jest wartości bezwzględnej - funkcji, którą poznaliśmy na samym początku, omawiając liczby rzeczywiste (wartość bezwzględna) .

Aby zabrać się do rozwiązywania takiego równania musimy przypomnieć sobie, czym właściwie była wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: dostając liczbę dodatnią nic z nią nie robiła, dostając ujemną - zamieniała ją na dodatnią (czyli tak naprawdę "dostawiała" minusa przed nią). Na przykład:

$$|3| = 4$$
$$|-4| = -(-4) = 4$$

Równania z wartością bezwzględną mogą przybierać dwie postacie:
a) wartości bezwzględne występują obok siebie, np:
$$|x+3| + |x-2| = 6$$

b) wartość bezwzględna jest "zagnieżdżona" wewnątrz wartości bezwzględnej, np:
$$||x+1| - 2| = 3$$

Oczywiście te dwa typy mogą się łączyć w różnych konfiguracjach, warto jednak na początku omówić je na tych właśnie niezbyt zaawansowanych przykładach.

Zacznijmy od typu a), czyli równania $$|x+3| + |x-2| = 6$$.

Chcąc opuścić wartość bezwzględną musimy wiedzieć, jakiego znaku jest wyrażenie pod nią. Jako że musimy opuścić obie wartości bezwzględne naraz, musimy rozwiązywanie takiego równania rozbić na kilka przypadków.

Najpierw należy się zastanowić, dla jakich $$x$$-ów pierwsza i druga wartość bezwzględna będą dodatnie.

Pierwsza będzie dodatnia dla $$x$$ > $$-3$$, druga - dla $$x$$ > $$2$$. Obie będą więc dodatnie tylko wtedy, gdy $$x$$ > $$2$$.

Teraz zastanówmy się nad pozostałymi przypadkami. Jeśli $$2$$ >= $$x$$ > $$-3$$ - pierwsza będzie dodatnia, a druga ujemna. Jeżeli natomiast $$-3$$ >= $$x$$ - obie będą ujemne.

Opuśćmy zatem wartości bezwzględne dla przypadku 1 - obu dodatnich (jeśli liczba jest dodatnia, wartość bezwzględna nie zmienia jej znaku).

$$x+3 + x - 2 = 6$$
$$2x = 5$$
$$x = {5}/{2}$$

Uzyskaliśmy wynik, ale koniecznie trzeba sprawdzić, czy mieści się w naszym pierwszym przedziale. Nie wolno o tym zapominać - to bardzo częsty błąd w tego typu zadanich.

$${5}/{2}$$ > $$2$$

Okazuje się, że wynik mieści się w przedziale - uzyskaliśmy jedno rozwiązanie.

Czas na rozważenie kolejnych dwóch przypadków. Jeśli $$2$$ >= $$x$$ > $$-3$$, należy zmienić znak tylko drugiej wartości bezwzględnej, ponieważ kryła się pod nią liczba ujemna:

$$x+3 - x + 2 = 6$$
$$5 = 6$$

Jest to oczywista sprzeczność.

Trzeci przypadek $$-3$$ >= $$x$$ oznacza zmianę znaku obu wyrażeń pod wartością bezwzględną:

$$-x-3-x+2 = 6$$
$$-2x = 7$$
$$x = -{7}/{2}$$

Pozostaje jedynie sprawdzić:
$$-{7}/{2}$$ <= $$-3$$

Jest to prawda - uzyskaliśmy drugie rozwiązanie.

Metoda ta działa także w przypadku większej ilości wartości bezwzględnych - rozpatrujemy wtedy po prostu większą liczbę przedziałów.

Możemy przejść zatem do drugiej części: wartości bezwzględnej zagnieżdżonej wewnątrz innej:

$$||x+1| - 3| = 3$$

Metoda rozwiązywania takiego typu równań opiera się opuszczaniu wartości bezwzględnej od tej będącej w samym środku do tej na wierzchu. W tym przypadku oznacza to, że najpierw opuścimy $$|x+1|$$.

Rozbijamy to na dwa przypadki:
1) $$x$$ > $$-1$$ i wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$|x+1 - 2| =3$$
$$|x-2| =3$$

Znowu musimy rozbić to na dwa przypadki, pamiętając jednak, że w tym momencie rozpatrujemy jedynie $$x$$-y większe od $$-1$$.

1.1) $$x$$ > $$2$$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$x-2 = 3$$
$$x = 5$$

Uzyskaliśmy rozwiązanie i mieści się ono w naszych przedziałach $$>-1$$ i $$>2$$.

1.2) $$x$$ <= $$2$$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$$-x-2 = 3$$
$$x = -1$$

Uzyskaliśmy rozwiązanie, ale nie mieści się ono w naszych przedziałach - nie jest $$>-1$$. Odrzucamy je.

2) $$x <= -1$$ i wartość bezwzględna zmienia znak
$$|-x-1-3| = 3$$
$$|-x-4| = 3$$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki:
2.1) $$x$$ < $$-4$$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$-x-4 =3$$
$$x = -7$$

Rozwiązanie spełnia oba kryteria.
2.2) $$x$$ > $$-4$$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$$x + 4 = 3$$
$$x = -1$$

To rozwiązanie także spełnia oba kryteria.

To, co zrobiliśmy w rozwiązaniu, można czytelnie pokazać na schemacie:

1


Warto jeszcze wspomnieć, że nie ma znaczenia to, w którym przypadku umieścimy przypadek, gdy wartość bezwzględna jest równa zero - zależy to jedynie od naszego wyboru. Dobrze jest jednak mieć stały nawyk korzystania ze znaku "większy-równy" albo "mniejszy-równy" - będziemy wtedy mieli gwarancję, że nie zapomnimy uwzględnić tego w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie bardziej złożonych równań z wartością bezwzględną to po prostu stosowanie tych dwóch metod - trzeba jedynie pamiętać, aby:

1) opusczać wszystkie wartości bezwzględne stojące "na tym samym poziomie" jednocześnie
2) przed opuszczeniem wartości zewnętrznej zająć się wartością wewnątrz

Komentarze