Twierdzenie Talesa

Twierdzenia Talesa to tak naprawdę skorzystanie z podobieństwa pewnych trójkątów.


1

Jeśli mamy sytuajcę taką jak na rysunku (odcinki $$DE$$ i $$BC$$ są równoległe), to prawdziwe są równości:
$${AB}/{AD} = {BC}/{DE}$$
$${AB}/{AC} = {AD}/{AE}$$

i wszystkie z nich wynikające. Ogólnie jeśli mamy stosunek dwóch odcinków w pierwszym trójkącie $$ABC$$, to jest on równy stosunkowi odcinków w drugim trójącie $$ADE$$.

Wynika to z prostego podobieństwa: jeśli odpowiednie odcinki są równoległe, to kąty przy podstawach także są równe (kąty odpowiadające) - jest to cecha KKK.


Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa mówi natomiast, że jeśli zachodzą takie równości stosunków (czyli że jeśli na przykład wiemy, że $${AB}/{AD} = {BC}/{DE}$$), to na pewno odcinki $$BC$$ i $$DE$$ są równoległe. To także wynika wprost z podobieństwa - tym razem z cechy BKB.

Na koniec warto wspomnieć, że twierdzenie Talesa działa także wtedy, gdy odcinki $$BC$$ i $$DE$$ są po "różnych stronach" punktu $$A$$.

22

Zobaczmy, jak wygląda przykładowe rozwiązanie zadania korzystające z twierdzenia Talesa:

3

Na rysunku mamy podane długości pewnych odcinków. Mamy obliczyć długość odcinka $$DB$$.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia Talesa wiemy, że prawdziwe jest równanie $${AE}/{AC} = {AD}/{AB}$$ Podstawiając dane liczby otrzymujemy $$AD = {2×4}/{5}$$.

Odcinek $$DB$$ jest po prostu równy sumie $$AD$$ i $$AB$$, czyli $$AD = 1.6 + 4 = 5.6$$.
 

Komentarze