Gimnazjum / II Klasa / Trójkąty prostokątne

zbiór-zadań.pl

Trójkąt prostokątny składa się z dwóch przyprostokątnych i jednej przeciwprostokątnej. Gdy znamy długość dwóch przyprostokątnych jesteśmy w stanie obliczyć długość przyprostokątnej. W takim przypadku korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

pitagoras

Twierdzenie Pitagorasa

„W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.”

 

Z tego wynika, że:

$$ P_1+P_2=P_3$$ -> $$ a^2+b^2=c^2 $$
 

Najpopularniejszymi trójkątami prostokątnymi są trójkąt pitagorejski i jego wielokrotności. Jego boki wynoszą 3,4 i 5, a przykład wielokrotności to 12,16 i 20.

 

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

 

Wiemy już, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Analogicznie, znając trzy boki trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy dany trójkąt jest prostokątny. Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi trzeciego boku. Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

„Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to mówimy że trójkąt jest prostokątny.”

 

Przekątna kwadratu

 

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć m.in. przekątną kwadratu mając podany jego bok.

przekatna
$$a$$ -> bok kwadratu
$$d$$ -> przekątna kwadratu
$$d^2=a^2+a^2$$
$$d^2=2a^2$$
$$d=√{2×{a}^2}$$ -> $$d=a√2$$

Przekątna kwadratu wynosi $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

 

Wysokość trójkąta równobocznego

 

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa oprócz przekątnej kwadratu jesteśmy również w stanie obliczyć wysokość trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

rownoboczny
$$ {(1/2 a)}^2+h^2=a^2 $$
$$ 1/4 a^2+h^2=a^2 $$
$$ h^2={3a^2}/4 $$
$$ h={a√3}/2 $$

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $$ {a√3}/2 $$ , gdzie a oznacza długość jego boku.

Mając podstawę i wysokość jesteśmy w stanie również obliczyć pole trójkąta równobocznego.

$$ P= 1/2 ah=1/2×(a√3)/2×a=(a^2 √3)/4 $$

Korzystając z tego wzoru możemy również tak go przekształcić, że będziemy mogli obliczyć pole trójkąta znając tylko jego wysokość.

$$ h={a√3}/2 $$ -> $$ a={2h}/{√3} $$

z tego wynika, że:

poletrojkata

Pole trójkąta równobocznego wynosi $${a^2√3}/4$$ lub $${h^2√3}/3$$, gdzie a oznacza jego bok, a h jego wysokość.

 

Trojkąty 90°, 45°, 45° i 90°, 60°, 30°

 

Istnieją dwa trójkąty prostokątne, w których dzięki kątom znamy zależności ich boków. Znajomość tych zależności ułatwi i przyśpieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90°,45° i 45°.

    Jest to połowa kwadratu o boku a dlatego przeciwprostokątna ma długość $$a√2$$.

    trojkat1
  2. Trójkąt prostokątny o kątach 90°,60° i 30°.

    trojkat2
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Partnerzy:

Matma4u.pl Młodzieżowa Rada Dzielnicy Śródmieście windu.org
Rozwiń

Pomoc on-line

Jeśli masz jakikolwiek problem z obsługą usług dostępnych na naszej stronie utworzyliśmy pomoc on-line. Popoprzez poniższy adres e-mail można zgłaszać błędy na stronie, propozycje dodatkowych zadań, a także zapytać o szczgóły rozwiązania. Zachęcamy również do skorzystania z czatu z naszym konsultatnem.


kontakt@kochammatematyke.pl

Otwórz czat on-line