Symetrie

Symetrie względem prostej

 

Symetria względem prostej to inaczej odbicie lustrzane względem prostej. Gdy mówimy, że dwie figury są względem siebie symetryczne wówczas od danego punktu jednej figury i punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.

  Zobacz w programie GeoGebra

Przykłady:

  • Przykład symetrii
  • Symetria względem prostej

Oś symetrii figury

 

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która podzieli figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki. Figura, która posiada, co najmniej jedną oś symetrii to figura osiowosymetryczna. Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii!

Przykłady

  • os2
  • os1

Symetralna odcinka

 

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

symetralna

Dwusieczna kąta

 

Dwusieczna kąta to prosta, która dzieli kąt na dwa jednakowe kąty o jednakowych miarach.

  Zobacz w programie GeoGebra jak konstrukcyjnie narysować dwusieczną kąta


dwusiecznakata

 

Symetria względem punktu

 

Symetria względem punktu to odbicie lustrzane obrazu względem punktu. Figury są do siebie symetryczne względem punktu, jeżeli prosta przechodząca przez dany punkt przechodzi przez odpowiadające sobie punkty dwóch figur w jednakowych odległościach od punktu. Brzmi trudno, ale oznacza to tylko tyle, że odpowiadające sobie punkty figur są równoodległe od punktu symetrii.

  Zobacz w programie GeoGebra

Przykłady

  • wzgledempunktu
  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

 

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego wszystkie punkty figury są symetryczne. W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu. Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:

  • srodek1
  • srodek2

Symetrie w układzie współrzędnych

 

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 
 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Komentarze