Równania wymierne

W przypadku rozwiązywania równań wymiernych przede wszystkim potrzebujemy przejść na zwykłe równania liniowe czy też kwadratowe. Ograniczać się to będzie do jednego manewru.

Przy równaniach wymiernych musimy pamiętać o dziedzinie. Dziedzina jak pamiętamy to wszelkie możliwe x, czyli w równaniach wymiernych będziemy patrzeć czy czasem nie dzielimy przez 0.

Mając przykład rozwiązujemy go w 3 prostych krokach:

  1. Wyznacz dziedzinę
  2. Pomnóż równanie przez mianownik lub na krzyż
  3. Rozwiąż równanie liniowe lub kwadratowe

Przykład:
Rozwiąż równanie: $${x+1}/{x+3}=2$$

Najpierw ustalamy dziedzinę, czyli bierzemy sobie mianownik i „przyróżniamy” do 0
$$x+3≠0$$

Więc
$$x≠-3$$

Zatem nasza dziedzina to:
D=R{-3}

Pamiętamy, że jeśli natrafimy na rozwiązanie $$x=-3$$ trzeba je odrzucić!

Krok drugi, mnożymy równanie przez mianownik
$${x+1}/{x+3}=2$$ $$|×(x+3)$$

Mianownik nam się skraca:
$$x+1=2(x+3)$$
$$x+1=2x+6$$

Krok trzeci, rozwiązujemy równanie liniowe, czyli przenosimy niewiadome na lewo:
$$x-2x=6-1$$
$$-x=5$$
$$x=-5$$

Spełnia dziedzinę, więc wszystko jest w porządku.


Teraz czas na trudniejszy przykład:

Rozwiąż równanie: $${x+1}/x={2x}/3$$ .

Krok nr 1 dziedzina, mamy w mianowniku tylko x, więc
$$x≠0$$

Więc
D=R{0}

Następnie mnożymy przez wspólny mianownik czyli 3*x lub na krzyż tutaj będzie nam łatwiej krzyżykiem
$$3(x+1)=2x×x $$
$$3x+3=2x^2$$

Jak widać zrobiło nam się równanie kwadratowe
$$2x^2-3x-3=0$$

No to standard:
$$a=2$$
$$b=-3$$
$$c=-3$$

Obliczmy deltę:
$$∆=(-3)^2-4×2×(-3)$$

$$∆=9+24$$
$$∆=33$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{33}$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={3+√{33} }/4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={3-√{33} }/4 $$

I to są nasze rozwiązania, spełniają dziedzinę więc koniec.
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Komentarze