Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $$x=2$$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $$x=2$$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$ $$|:3$$
$$x^3+2x^2+x+2 = 0$$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $$-2$$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $$x+2$$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $$(x+2)(x^2+1) = 0$$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$$ax^{2n} + bx^n + c = 0$$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $$x^n = t$$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$$at^2 + bt + c = $$

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $$t_1$$ oraz $$t_2$$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$$x_1 = t_1^n$$ oraz $$x_2 = t_2^n$$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $$x^8 - 5x^4 + 6 = 0$$.

Pierwszy krok to podstawienie $$t = x^4$$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$$t_1 = 2$$ oraz $$t_2 = 3$$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $$x_1 = 2^4 = 16$$ oraz $$x_2 = 3^4 = 81$$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $$x = 0$$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $$x$$.

$$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$$

$$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$$2x - 3 = 0$$
$$2x = 3$$
$$x = {3}/{2}$$

Zakładając teraz, że $$x ≠ {3}/{2}$$ podzielmy obustronnie przez $$(2x - 3)$$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$$x^3 + 1 = 0$$
$$x ^3 = -1$$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$$x = -1$$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$ są liczby $$0, {3}/{2}, -1$$.

Komentarze