Równania i nierówności

Równania służą do przedstawienia i rozwiązania zadania lub problemu matematycznego. Równanie ma ma formę równości dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym dążymy do znalezienia liczb odpowiadającym odpowiednim literom. Litery te nazywamy niewiadomymi.

Przykłady równań:

  • $$ 2x-10=16 $$
  • $$ x^2-2x+10=79$$
  • $$ 9z÷3=30$$
 

Liczby spełniające równanie

 

Liczby odpowiadające niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Równania z jedną niewiadomą mogą nie mieć żadnego rozwiązania, mogą też mieć jedno lub więcej rozwiązań.

 

Równania tożsamościowe to takie które mają przynamniej jedno rozwiązanie ( może być też nieskończenie wiele rozwiązań ).

Przykład:

  • $$x+3=10$$ -> rozwiązaniem jest x=7

Równania sprzeczne to takie, które nie mają rozwiązania.

Przykład:

  • $$x+3=x-10$$ -> nie ma rozwiązań

Sposoby rozwiązywania równań

 

Aby dojść, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać. Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych. Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia:

    $$x-10=14$$
    $$x=24$$ (dodaliśmy z obu stron liczbę 10)
  2. odjęcie tego samego wyrażenia:

    $$y+13=23$$
    $$y=10$$ (odjęliśmy z obu stron liczbę 13)
  3. pomnożenie przez tę samą liczbę:

    $$0.5x=7$$
    $$x=14$$(pomnożyliśmy obie strony przez 2)
  4. podzielenie prze tę samą liczbę:

    $$3x=27$$
    $$x=9 $$ (podzieliliśmy obie strony przez 3)
 

Nierówności

 

Nierówność jest to podobne do równania połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym zamiast znaku równości występują znaki: „większy” (>), "mniejszy" ($$< $$), "większy równy" ($$≥$$), „mniejszy równy” ($$≤$$). Rozwiązywanie takiej nierówności jest bardzo podobne do rozwiązywania równania, a rozwiązaniem jest przeważnie zbiór liczb. Czasami jednak zdarza się, że rozwiązaniem może być tylko jedna liczba. Rozwiązania można przedstawić na osi liczbowej.

Przykłady nierówności:

  • $$2x-4<3$$
  • $$4y+20>15$$
  • $$3k+2≤10$$
  • $$ 4p-1≥3$$

Przedstawianie rozwiązań na osi liczbowej:

  • $$ x>3 $$

    przyklad1
  • $$x<3 $$

    przyklad2
  • $$x≤4$$

    przyklad3
  • $$x≥4$$

    przyklad4

Przekształcanie równań

 

Przekształcanie równań służy do wyznaczenia jednej niewiadomej względem innych. Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron oraz mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie obu stron.

Przykłady:

  1. mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie

    $$k÷z=y+l $$
    $$k=(y+l)×z$$ (pomnożyliśmy obie strony prze „z”)
  2. dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia

    $$z+p=k$$
    $$z=k-p$$ (odjęliśmy od obu stron „p”)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Komentarze