Przedziały liczbowe

Czym jest przedział? W pociągu są to wydzielone miejsca siedzenia - tak samo w matematyce jest to po prostu wydzielony zakres liczb, np. w wagonie mamy miejsca od 1 do 80, więc możemy zapisać, że miejsca siedzenia są w przedziale <1;80>. Skąd taki zapis?

< oraz > oznaczają w tym wypadku, że zarówno 1 jak i 80 należą do zbioru, więc w pociągu możemy otrzymać miejsce nr 1 i miejsce nr 80. Oczywiście również te między nimi. Różnica między przedziałem w pociągu a tym matematycznym polega na tym, że w pociągu nie możemy zająć np. miejsca $$-3 {1}/{3}$$, natomiast w matematyce zwykle mamy do dyspozycji wszystkie liczby rzeczywiste.

Mamy teraz inny pociąg gdzie przedział miejsc jest zapisany jako (1;40). ( oraz ) oznaczają, że 1 i 40 nie należą już do zbioru, więc nie możemy dostać miejsca nr 1 oraz miejsca nr 40.

Przedziały liczbowe zapisujemy głównie jako rozwiązania równań, nierówności, wyznaczania dziedziny czy zbiorów różnego typu. Będziemy często stosować zapis „zmienna należy do przedziału” czyli w matematyce:

Zmienna ∈(granica A; granica B)

Oznacza to, że zmienna należy do pewnego zbioru liczb, dokładniej do zbioru liczb większych od A i mniejszych od B.

Oczywiście mogą wystąpić < i > , a także ( i > albo < i )

Ważny jest symbol nieskończoności, czyli „kopniętej ósemki”: $$∞$$
 

Przykład:

Zapisz za pomocą przedziału naturalne liczby x, które są większe od 3.

Najważniejsze w przedziale jest ustalenie granic: mamy tutaj liczby ściśle większe (nie większe równe!) 3 zatem $$x >3$$, trójka nie należy do zbioru więc użyjemy nawiasu (, z prawej strony nie mamy żadnego ograniczenia, zatem prawa granica jest nieskończonością.
 

Uwaga!

Nieskończoność zawsze zamykamy nawiasem ( lub ).

Zatem mamy zapis, że

$$x∈(3;∞)$$

Ten zapis informuje o przynależności dowolnej liczby rzeczywistej do tego przedziału czyli też np. $$4,5$$

A w zadaniu mamy że są to liczby naturalne, zatem potrzebujemy dopisać:

$$x∈(3;∞)$$,gdzie $$x∈N$$

Gdzie N symbolizuje liczby naturalne.

Uwaga!

Przedział liczbowy jest przykładem zbioru liczb. Pamiętaj, że istnieją także zbiory liczb, których nie da się wyrazić w postaci przedziału, np. zbiór wszystkich liczb niewymiernych NW.

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$ ∪ $$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

 

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

 

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Komentarze