Potęgi

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie tej samej liczby przez siebie samą.

$$a^n$$ -> a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy mnożenie czynnika a, n razy.

$$a^n=a×a×a×a…$$ (n - liczba wystąpień czynnika $$a$$)

Przykład:

$$3^4=3×3×3×3=81$$

Gdy liczba ujemna lub dodatnia będzie podniesiona do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia. Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady

$$ {(-3)}^6=3^6 $$
$$ -3^6=-(3^6) $$
$$ (-6)^5=-6^5 $$

Gdy podnosimy pewien ułamek do danej potęgi, to wykonujemy potęgowanie oddzielnie dla mianownika i licznika, a kreska ułamkowa pozostaje bez zmian.

$$(2/3)^2=2^2/3^2 =4/9$$

Zapamiętaj:

  • $$a^0=1, $$
  • $$a^1=a, $$
  • $$0^0 $$ -> nie istnieje!
 

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

 

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - wynikiem mnożenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to suma dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$k^a×k^b=k^{(a+b)}$$
  2. Dzielenie - wynikiem dzielenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to różnica dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$ k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

Przykłady:

  • $$3^2×3^4=3^6$$
  • $$5^4÷5^2=5^2$$
  • $$7^2×7=7^3$$
 

Potęgowanie potęg

 

Potęgując potęgi należy korzystać z poniższych schematów:

  • $$ {(k^a)}^b=k^{a×b} $$
  • przyklad1

Przykłady:

  • $${(2^3)}^3=2^9 $$
  • przyklad2
  • $${(9^7)}^8=9^56 $$

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

 

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się w taki sam sposób jak pozbywanie się nawiasu.

$${(a×b)}^n=a^n×b^n$$
$${(a÷b)}^n=a^n÷b^n$$
$${(a÷b)}^n={(a/b)}^n=a^n/b^n $$
 

Przykłady:

  • $$ {(3×2)}^2=3^2×2^2 $$
  • $$ {(4/6)}^2=4^2/6^2 $$
  • $$ {(9÷4)}^6=9^6÷4^6 $$

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

 

Gdy spotkamy się z potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym wystarczy tylko zamienić tą potęgę na ułamek, który w liczniku ma 1, a w mianowniku tą sama potęgę tylko z wykładnikiem dodatnim.

$$ k^{-a}=1/{k^a} $$
$$ {(1/k)}^{-m}=k^m $$
 

Przykłady:

  • $$ 7^{-9}=1/{7^9} $$
  • $$ 2^{-3}=1/{2^3} =1/8 $$
  • $$ {(1/2)}^{-3}={1}/{2}^{-3} =1/{1/{2^3}}=1/{1/8}=1/1×8/1=8 $$

Notacja wykładnicza

 

Notacja wykładnicza to przedstawienie dużej liczby, jako iloczyn liczby o module mniejszym od 10 i potęgi 10. Potęga dziesiątki informuje nas ile dodamy zer, bądź też o ile miejsc przesuniemy przecinek.

Zapamiętaj:

$$k×{10}^a $$, gdzie $$ 1≤ |k| <10 $$
 

Przykłady:

  • $$ 38900 = 3,89×10000=3,89×{10}^4 $$ -> notacja wykładnicza: $$3,89×{10}^4 $$
  • $$ 0.00934= 9,34÷1000=9,34×{10}^{-3} $$ -> notacja wykładnicza: $$ 9,34×{10}^{- 3} $$
  • $$ 789423=7,89423×100000=7,89423×{10}^5 $$ -> notacja wykładnicza: $$7,89423×{10}^5$$
 
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Komentarze