Miara łukowa

Trygonometria to dział matematyki poświęcony badaniom związków między pewnymi kątami i odpowiadającymi im długościami, funkcjom zależnym od kątów itp. Jednak żeby w ogóle zacząć mówić o trygonometrii musimy wprowadzić pewne podstawowe w tej dziedzinie pojęcie zwane miarą łukową kąta.

Dotychczas jedyną miarą kątową występującą w szkole były stopnie. Kąt pełny był równy $$360°$$, kąt półpełny: $$180°$$ itd. Miara kątowa miała jednak sporą wadę: wyznaczenie długości łuku na okręgu odpowiadającego określonemu kątowi było dość problematyczne. Dla przypomnienia: żeby wyznaczyć długość łuku odpowiadającego kątowi 10° w okręgu o promieniu 3 trzeba podzielić $$ {10°}/{360°} $$ (jest to stosunek naszego "wycinka" do całego okręgu) i przemnożyć to przez obwód równy $$ 2×Π×3 $$.

W efekcie otrzymujemy $$ l = {10°×2×3×Π}/{360°} = {Π}/{6}$$.

Miara kątowa to po prostu stosunek długości łuku do promienia. Zapisując wzorem:
$$α = {l}/{r} $$.

1

Widać, że teraz łatwo możemy obliczyć długość łuku: wystarczy przemnożyć kąt przez długość promienia: $$ l = α × r $$.

3

Widać, że w tym rozumieniu kąt jest po prostu liczbą i tak jak na zwykłych liczbach możemy je dodawać i odejmować. Ponadto pozwala to na wprowadzenie funkcji trygonometrycznych: liczby na osi traktujemy jako miary kątów.

Pozostaje jeszcze tylko wspomnieć, że w zastosowaniach analitycznych (w układzie współrzędnych) długość łuku jest dodatnia, jeśli obracamy się w kierunku odwrotnym do wskazówek zegara, a ujemna, jeśli w kierunku zgodnym.

2
 

Przeliczanie kątów



Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka


Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Komentarze