Rozwiń

Pomoc on-line

Jeśli masz jakikolwiek problem z obsługą usług dostępnych na naszej stronie utworzyliśmy pomoc on-line. Popoprzez poniższy adres e-mail można zgłaszać błędy na stronie, propozycje dodatkowych zadań, a także zapytać o szczgóły rozwiązania. Zachęcamy również do skorzystania z czatu z naszym konsultatnem.


kontakt@kochammatematyke.pl

Otwórz czat on-line

Gimnazjum / I Klasa / Liczby

zbiór-zadań.pl

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne

Rozwinięcia dziesiętne liczb

 

Często, dzieląc licznik ułamka przez mianownik możemy zauważyć że wyniku nie da się przedstawić za pomocą liczby naturalnej lub całkowitej. Wykonując takie dzielenie otrzymamy wynik w postaci ułamka dziesiętnego. Mówimy wtedy że ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Bywa jednak że spotkamy się z sytuacja gdy rozwinięcie dziesiętne będzie miało nieskończoną ilość cyfr. Wtedy mówimy że taki ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone a powtarzające się na końcu cyfry nazywamy okresem.


Przykłady rozwinięcia dziesiętnego:
  • $$ 7/16=0.4375$$
  • $$3/7=0,42857142857142 $$
Przykłady rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego:
  • $$ 1/3=0.33333…=0.(3) $$
  • $$ 47/6=7,83333…=7,8(3) $$
  • $$ {33}/7=4,714285714285…=4,(714285) $$

Wniosek:
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Zaokrąglenia liczb

 

Gdy liczba jest duża lub ma długie rozwinięcie dziesiętne a nie jest nam potrzebny aż tak szczegółowy wynik możemy taką liczbę zaokrąglić. Istnieje jednak kilka zasad zaokrąglania liczb. Liczby całkowite możemy zaokrąglić do dziesiątek, setek lub tysięcy. Natomiast ułamki dziesiętne możemy zaokrąglić także do części jedności lub części dziesiątych.

Zaokrąglanie do dziesiątek to takie gdy ostatnią cyfrę którą bierzemy pod uwagę to cyfra dziesiątek. Gdy cyfra jedności jest równa 0,1,2,3 lub 4 to cyfrę dziesiątek zostawiamy bez zmian. Natomiast gdy cyfra jedności jest równa 5,6,7,8 lub 9 to cyfrę dziesiątek zaokrąglamy w górę.

Przykłady:
  • $$123~120$$
  • $$145~150$$
  • $$168~170$$

Zaokrąglanie do setek działa na tej samej zasadzie co zaokrąglanie to dziesiątek tylko ostatnią cyfrą nas interesującą jest cyfra setek.

Przykłady:
  • $$1123~1100$$
  • $$340~300$$
  • $$789~800$$

Zaokrąglanie do tysięcy również niczym się nie różni od pozostałych dwóch tylko w tym przypadku interesuje nas cyfra tysięcy.

Przykłady:
  • $$1507~2000$$
  • $$5346~5000$$
  • $$45700~46000$$

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do części jedności to takie gdy pozbywamy się rozwinięcia dziesiętnego. Gdy pierwsza cyfra po przecinku jest równa 0,1,2,3 lub 4 wówczas liczbę jedności pozostawiamy bez zmian. Natomiast gdy pierwsza cyfra po przecinku jest równa 5,6,7,8 lub 9 wtedy cyfrę jedności zaokrąglamy w górę.

Przykłady:
  • $$164,3~164$$
  • $$178,9~179$$
  • $$43,36~43$$

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do części dziesiątych działa na tej samej zasadzie co poprzednie.

Przykłady:
  • $$157,67~157,7$$
  • $$78,567~78,6$$
  • $$89,31~89,3$$
 

Dodawanie i odejmowanie ułamków

 

Dodawanie i odejmowanie to najprostsze działanie matematyczne. Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków należy pamiętać aby sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Przykłady:
  • $$3/7+1/3={3×3}/{21}+{1×7}/{21}={16}/{21} $$
  • $$4/5-2/3={4×3}/15-{2×5}/{15}=2/{15} $$

Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych robimy to w podobny sposób co przy dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych.

Przykłady:
  • $$3,45-2,34=1,11 $$
  • $$57,879+3,32=57,879+3,320=61,199 $$

Gdy dodajemy lub odejmujemy ułamek dziesiętny i ułamek zwykły wystarczy doprowadzić je do wspólnej postaci (albo ułamki zwykłe albo dziesiętne).

Przykłady:
  • $$3/4+2,2=0,75+2,20=2,95 $$
  • $$ 2,5- 3/4={21}/2-3/4=5/2-3/4={10}/{4}-3/4=7/4$$

Mnożenie i dzielenie ułamków

 

Mnożenie i dzielenie to po dodawaniu i odejmowaniu najbardziej popularne działania stosowane we wszystkich dziedzinach nauki. Mnożenie ułamków zwykłych to nic innego jak oddzielne pomnożenie liczników i mianowników. Przy dzieleniu ułamków zwykłych należy pamiętać by zamienić w dzielniku licznik i mianownik a następnie wykonywać mnożenie tych dwóch ułamków.

Przykłady:
  • $$4/5×3/7={4×3}/{5×7}=12/35$$
  • $$ {4/7}÷{5/8}=4/7×8/5=32/35$$

Mnożenie ułamków dziesiętnych to pomnożenie cyfr jedności a następnie zrobienie tego samego z rozwinięciem dziesiętnym. Dzielenie ułamków dziesiętnych jest bardzo podobne i polega na doprowadzeniu dzielnika do liczby całkowitej. Przy wykonywaniu tych działań warto pamiętać że w dwóch liczbach które mnożymy( lub dzielimy) można przesunąć przecinek o tą samą ilość miejsc.

Przykłady:
  • $$3,4×1,21=3,84$$
  • $$ 5,7×1,2=(5×1,2)+(0,7×1,2)=6,84$$
  • $$ 2,1÷0,7=21÷7=3$$

Wyrażenia arytmetyczne

 

Najważniejszą rzeczą przy obliczaniu wartości wyrażeń arytmetycznych jest kolejność wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:
  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
Przykłady:
  • $$(45-9×3)-4=(45-27)-4=18-4=14$$
  • $$ 4+7×6÷2=4+42÷2=4+21=25$$
  • $$ 2^3÷2-3=8÷2-3=4-3=1$$
  • $$ √9-2÷2=3-2÷2=3-1=2$$
 

Działania na liczbach dodatnich i ujemnych

 

Działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wykonywane na liczbach ujemnych są bardzo podobne do tych które były wykonywane tylko na liczbach dodatnich. Należy tylko pamiętać o kilku podstawowych zasadach!

Dodawanie i odejmowanie:
  • dodawanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na odejmowanie tej samej liczby.
    • $$ 36+(-12)=36-12=24 $$
  • odejmowanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na dodawanie tej samej liczby.
    • $$ 78-(-48)=78+48=126 $$

Mnożenie i dzielenie:
  • wynik mnożenia liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną.
    • $$(-12)×3=(-36)$$
  • wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnią. (-16)×(-2)=32
  • wynik dzielenia dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnia:
    • $$(-48)÷(-4)=12$$
  • wynik dzielenia liczby ujemnej przez liczbę dodatnią ( lub na odwrót ) będzie zawsze liczbą ujemną
    • $$(-45)÷9=(-5)$$
    • $$81÷(-9)=(-9)$$

Osie liczbowe

 

Oś liczbowa służy do przedstawienia danej nierówności w postaci graficznej. Wystarczy odczytać z nierówności, w jakim przedziale liczb znajduje się szukana niewiadoma.

Przykład:
  • $$7>x≥3$$
    os_liczbowa

Zamalowana kropka nad pozycją w układzie współrzędnym oznacza że dana liczba jeszcze znajduje się w tym przedziale liczb (np. $$x≤3$$ ). Natomiast pusta kropka oznacza, że dana liczba nie znajduje się już w tym przedziale (np. $$x < 7$$).

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Znajdź trzy liczby, które są większe od $$2/5$$ i mniejsze od $$5/7$$.

$$2/5 < x < 5/7$$

$${14}/{35} < x < {25}/{35} $$

Odp.: Szukane liczby to np.: $${16}/{35}$$, $${21}/{35}$$, $${24}/{35}$$.

Zadanie 2.

Porównaj ułamki $$5/6$$ i $${11}/{13}$$ na dwa sposoby:

  1. Oblicz na kalkulatorze ich rozwinięcia dziesiętne i porównaj je.
  2. Sprowadź je do wspólnego mianownika i porównaj je.

$$ 5/6={65}/{78}=0,8(3) $$ $$ {11}/{13}={66}/{78}=0,(846153) $$

  1. rozwinięcia dziesiętne:
    $$ 0,8(3) < 0,(846153)$$
  2. po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
    $$ {65}/{78} < {66}/{78} $$

Zadanie 3.

  1. Podaj najmniejszą liczbę naturalną, która po zaokrągleniu do dziesiątek ma wartość 2840.
  2. Jaka jest największa liczba naturalna, która po zaokrągleniu do setek wynosi 1900?
  1. Najmniejsza taka liczba to 2835 bo $$2835≈2840$$, a $$2834≈2830$$.
     
  2. Największa taka liczba to 1949 bo $$1949≈1900$$, a $$1950≈2000. $$

Zadanie 4.

Liczbę 2 przedstaw jako:

  1. sumę dwóch różnych liczb dodatnich,
  2. sumę trzech różnych liczb dodatnich,
  3. iloczyn dwóch różnych liczb dodatnich,
  4. iloczyn dziesięciu różnych liczb dodatnich
  1. $$ 2=1+1 $$
  2. $$ 2=0,5+0,5+1 $$
  3. $$ 2=0,2×10 $$
  4. $$ 2=0,8×0,5×0,5×0,00001×10×10×10×10×10×10 $$

Zadanie 5.

Oblicz:

  1. $$2/3$$ godziny - ile to minut?
  2. $$7/{50}$$ kilometra - ile to metrów?
  3. $$0,02$$ kilograma - ile to gramów?
  1. $$ 2/3 h= 2/3×60 min=40 min $$
  2. $$ 7/{50} km=7/{50}×1000 m=140 m $$
  3. $$ 0,02 kg=0,02×1000 g=20 g $$

Zadanie 6.

Zawartość 24 butelek o pojemności 0,3 litra i 18 butelek o pojemności 0,25 litra przelano do zbiornika o pojemności 13,5 litra. Zawartość ilu butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze do zbiornika?

$$ 13,5-(24×0,3+18×0,25)=13,5-(7,2+4,5)=13,5-11,7=1,8 l $$ -> tyle zostało jeszcze miejsca w zbiorniku

$$ {1,8}/{0,3}=6 $$ -> zawartość tylu butelek zmieści się jeszcze w zbiorniku

Odp.: Zawartość 6 butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze w tym zbiorniku.
 

Partnerzy:

Matma4u.pl Młodzieżowa Rada Dzielnicy Śródmieście windu.org