Gimnazjum / I Klasa / Liczby

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... . Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Możemy zapisać: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}.

Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem przedmiotów i ustalaniem kolejności.

W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy liczby parzyste i nieparzyste, a także liczby pierwsze i złożone.

  • Liczba parzysta – liczba podzielna przez 2 (inaczej mówiąc jest to wielokrotność liczby 2).
    Liczbami parzystymi są więc liczby: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...
    Każdą liczbę parzystą możemy przedstawić w postaci iloczynu liczby 2 i pewnej liczby naturalnej. Zatem jeśli n jest liczbą parzystą, to istnieje liczba naturalna k taka, że: $$n=2•k$$.

  • Liczba nieparzysta – liczba naturalna, która nie jest parzysta. Liczbami nieparzystymi są więc liczby: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … Każdą liczbę nieparzystą n możemy przedstawić w postaci $$n = 2•k+ 1$$, gdzie k jest liczbą naturalną.

  • Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, mająca tylko dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

  • Liczba złożona - liczba nie będąca liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

  Uwaga

Liczby 1 i 0 nie są liczbami pierwszymi ani liczbami złożonymi złożonymi.

  Własności liczb naturalnych

  Liczby naturalne

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne (liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0. Liczbą przeciwną do 4 jest -4, liczbą przeciwną do -25 jest 25, liczbą przeciwną do 0 jest 0).

Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C. Możemy zapisać: C = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.

Liczby całkowite dzielimy na liczby całkowite dodatnie C+ oraz liczby całkowite ujemne C-.

Liczby całkowite dodatnie: C+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Liczby całkowite ujemne: C- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6,...}

  Uwaga

Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani liczbą ujemną.

  Uwaga

Wszystkie liczby naturalne są liczbami całkowitymi. Wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne.

  Liczby całkowite

Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka $$p/q$$ gdzie p i q są liczbami całkowitymi (co zapisujemy $$p∈C$$ i $$q∈C$$) oraz q≠0.

  Uwaga

Wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi, ponieważ każdą liczbę naturalną i całkowitą można przedstawić w postaci ułamka, np. $$2=2/1$$, $$-9=- 9/1={-9}/1=9/{-1}$$, $$0=0/5=0/{47}=...$$.

Przykłady liczb wymiernych: $${23}/{45}$$, $$1/2$$, $$2 1/2=5/2$$, $$-2 1/2=-5/2$$, $$14={14}/1$$, $$0=0/5=0/47=...$$.

Zbiór liczb wymiernych dzieli się na zbiór liczb wymiernych dodatnich oraz zbiór liczb wymiernych ujemnych.

Każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, o których przeczytasz w kolejnym podtemacie - „Rozwinięcie dziesiętne liczb”.

  Ułamki zwykłe

  Działania na ułamkach zwykłych

  Ułamki zwykłe

  Ułamki zwykłe i dziesiętne

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, których nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Przykłady: $$π=3,14…, √2, √3$$.

Każda liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, o których przeczytasz w kolejnym podtemacie - „Rozwinięcie dziesiętne liczb”.

Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych i niewymiernych

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej (czyli liczby, którą można przedstawić w postaci ułamka zwykłego $$p/q$$) to przedstawienie tej liczby w postaci ułamka dziesiętnego.

  • Przypadek 1.
    Ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000,...

    Ułamki takie zamieniamy na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku.

    Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

    Przykłady:

    • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka.

    • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka.

    • $${482}/{1000}=0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka.

    • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

    • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.
       

  • Przypadek 2.
    Ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,...

    Ułamki takie najpierw rozszerzamy lub skracamy tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000, …, a następnie postępujemy jak w przypadku 1.

    Przykłady:

    • $$1/2= {1•5}/{2•5}= 5/{10}= 0,5$$
    • $$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
    • $${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}= {20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$
       
  • Przypadek 3.
    Dowolny ułamek zwykły.

    Dzielimy licznik przez mianownik, postępując podobnie jak w przypadku dzielenia pisemnego liczb naturalnych.

    Przykłady:

    a. Zamień ułamek $$1/$$ 2na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie1

    $$1/2=0,5$$
     

    b. Zamień ułamek $$1/3$$ na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie2

    $$1/3=0,333...$$
     

    c. Zamień ułamek $$5/{66}$$$ na ułamek zwykły, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie3
     

    $$5/{66}=0,07575...$$
     

    c. Zamień ułamek $$4/35$$na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie4
     

    $$4/{35}=0,1142857...$$
     


Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej może być:

  1. skończone,
  2. nieskończone okresowe.

Rozwinięcie dziesiętne skończone to postać dziesiętna ułamka zwykłego, w której po przecinku występuje skończona ilość cyfr.

Przykłady:

  • $$1/2=0,5$$
  • $$7/{16}= 0,4375$$
  • $$3/7= 0,42857142857142$$

Rozwinięcie nieskończone okresowe to postać dziesiętna ułamka, w której po przecinku występuje nieskończona ilość cyfr, jednak od pewnego miejsca powtarza się ten sam ciąg znaków. Cyfrę lub grupę cyfr nazywamy okresem rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego. W zapisie rozwinięcia okres wyróżniamy nawiasem.

Przykłady:

  • $$1/3= 0,3333...=0,(3)$$
  • $$9/{11}= 0,8181...=0,(81)$$
  • $$7/{15}= 0,466...=0,4(6)$$
  • $${33}/7= 4,714285714285…=4,(714285)$$

  Uwaga

Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Zaokrąglenia liczb

Gdy liczba jest duża lub ma długie rozwinięcie dziesiętne, a nie jest nam potrzebny aż tak szczegółowy wynik, możemy taką liczbę zaokrąglić (przybliżyć).

Gdy przybliżenie liczby jest mniejsze od danej liczby, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem.

Gdy przybliżenie liczby jest większe od danej liczby, to mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.


Jeżeli zaokrąglamy ułamek do danego rzędu, odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5 (czyli równa 0, 1, 2, 3, 4), to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem); jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

  • jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5 (czyli 5, 6, 7, 8, 9), to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem); jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do dziesiątek:

  • 123 ~ 120 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 2; cyfry stojące w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5,
  • 145 ~ 150 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 4; cyfry stojące w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek zwiększamy o jeden, gdyż następująca po niej cyfra (5) jest równa 5,
  • 168 ~ 170 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 6; cyfry stojące w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek zwiększamy o jeden, gdyż następująca po niej cyfra (8) jest równa 8.

Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do setek:

  • 1123 ~ 1100 ← cyfrą setek danej liczby jest 1; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (2) jest mniejsza od 5,
  • 340 ~ 300 ← cyfrą setek danej liczby jest 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (4) jest mniejsza od 5,
  • 789 ~ 800 ← cyfrą setek danej liczby jest 7; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek zwiększamy o jeden, gdyż następująca po niej cyfra (8) jest równa 8.

Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do tysięcy:

  • 1507 ~ 2000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 1; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zwiększamy o jeden, gdyż następująca po niej cyfra jest równa 5,
  • 5346 ~ 5000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5,
  • 45700 ~ 46000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zwiększamy o jeden, gdyż następująca po niej cyfra (7) jest większa od 5.

Przykłady zaokrągleń ułamków dziesiętnych do jedności:

  • 164,3 ~ 164 ← cyfrą jedności danej liczby jest 4; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na pierwszym miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę jedności zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5,
  • 178,9 ~ 179 ← cyfrą jedności danej liczby jest 8; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na pierwszym miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę jedności zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (9) jest większa od 5,
  • 43,36 ~ 43 ← cyfrą jedności danej liczby jest 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na pierwszym miejscu po przecinku) odrzucamy a cyfrę jedności zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5.

Przykłady zaokrągleń ułamków dziesiętnych do części dziesiętnych, czyli do pierwszego miejsca po przecinku:

  • 157,67 ~ 157,7 ← część dziesiętna danego ułamka to 6; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli części setne, cyfra stojąca na drugim miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę części dziesiętnych zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (7) jest większa od 5,
  • 78,567 ~ 78,6 ← część dziesiętna danego ułamka to 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli części setne, cyfra stojąca na drugim miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę części dziesiętnych zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (6) jest większa od 5,
  • 89,31 ~ 89,3 ← część dziesiętna danego ułamka to 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli części setne, cyfra stojąca na drugim miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę części dziesiętnych zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (1) jest mniejsza od 5.
 

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

  • Dodawanie lub odejmowanie ułamków właściwych mających jednakowe mianowniki – dodajemy lub odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykłady:

    • $$4/7+6/7={10}/7={13}/7$$
    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$
  •  

Dodawanie i odejmowanie to najprostsze działanie matematyczne. Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków należy pamiętać aby sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Przykłady:
  • $$3/7+1/3={3×3}/{21}+{1×7}/{21}={16}/{21} $$
  • $$4/5-2/3={4×3}/15-{2×5}/{15}=2/{15} $$

Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych robimy to w podobny sposób co przy dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych.

Przykłady:
  • $$3,45-2,34=1,11 $$
  • $$57,879+3,32=57,879+3,320=61,199 $$

Gdy dodajemy lub odejmujemy ułamek dziesiętny i ułamek zwykły wystarczy doprowadzić je do wspólnej postaci (albo ułamki zwykłe albo dziesiętne).

Przykłady:
  • $$3/4+2,2=0,75+2,20=2,95 $$
  • $$ 2,5- 3/4={21}/2-3/4=5/2-3/4={10}/{4}-3/4=7/4$$

Mnożenie i dzielenie ułamków

 

Mnożenie i dzielenie to po dodawaniu i odejmowaniu najbardziej popularne działania stosowane we wszystkich dziedzinach nauki. Mnożenie ułamków zwykłych to nic innego jak oddzielne pomnożenie liczników i mianowników. Przy dzieleniu ułamków zwykłych należy pamiętać by zamienić w dzielniku licznik i mianownik a następnie wykonywać mnożenie tych dwóch ułamków.

Przykłady:
  • $$4/5×3/7={4×3}/{5×7}=12/35$$
  • $$ {4/7}÷{5/8}=4/7×8/5=32/35$$

Mnożenie ułamków dziesiętnych to pomnożenie cyfr jedności a następnie zrobienie tego samego z rozwinięciem dziesiętnym. Dzielenie ułamków dziesiętnych jest bardzo podobne i polega na doprowadzeniu dzielnika do liczby całkowitej. Przy wykonywaniu tych działań warto pamiętać że w dwóch liczbach które mnożymy( lub dzielimy) można przesunąć przecinek o tą samą ilość miejsc.

Przykłady:
  • $$3,4×1,21=3,84$$
  • $$ 5,7×1,2=(5×1,2)+(0,7×1,2)=6,84$$
  • $$ 2,1÷0,7=21÷7=3$$

Wyrażenia arytmetyczne

 

Najważniejszą rzeczą przy obliczaniu wartości wyrażeń arytmetycznych jest kolejność wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:
  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
Przykłady:
  • $$(45-9×3)-4=(45-27)-4=18-4=14$$
  • $$ 4+7×6÷2=4+42÷2=4+21=25$$
  • $$ 2^3÷2-3=8÷2-3=4-3=1$$
  • $$ √9-2÷2=3-2÷2=3-1=2$$
 

Działania na liczbach dodatnich i ujemnych

 

Działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wykonywane na liczbach ujemnych są bardzo podobne do tych które były wykonywane tylko na liczbach dodatnich. Należy tylko pamiętać o kilku podstawowych zasadach!

Dodawanie i odejmowanie:
  • dodawanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na odejmowanie tej samej liczby.
    • $$ 36+(-12)=36-12=24 $$
  • odejmowanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na dodawanie tej samej liczby.
    • $$ 78-(-48)=78+48=126 $$

Mnożenie i dzielenie:
  • wynik mnożenia liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną.
    • $$(-12)×3=(-36)$$
  • wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnią. (-16)×(-2)=32
  • wynik dzielenia dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnia:
    • $$(-48)÷(-4)=12$$
  • wynik dzielenia liczby ujemnej przez liczbę dodatnią ( lub na odwrót ) będzie zawsze liczbą ujemną
    • $$(-45)÷9=(-5)$$
    • $$81÷(-9)=(-9)$$

Osie liczbowe

 

Oś liczbowa służy do przedstawienia danej nierówności w postaci graficznej. Wystarczy odczytać z nierówności, w jakim przedziale liczb znajduje się szukana niewiadoma.

Przykład:
  • $$7>x≥3$$
    os_liczbowa

Zamalowana kropka nad pozycją w układzie współrzędnym oznacza że dana liczba jeszcze znajduje się w tym przedziale liczb (np. $$x≤3$$ ). Natomiast pusta kropka oznacza, że dana liczba nie znajduje się już w tym przedziale (np. $$x < 7$$).

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Znajdź trzy liczby, które są większe od $$2/5$$ i mniejsze od $$5/7$$.

$$2/5 < x < 5/7$$

$${14}/{35} < x < {25}/{35} $$

Odp.: Szukane liczby to np.: $${16}/{35}$$, $${21}/{35}$$, $${24}/{35}$$.

Zadanie 2.

Porównaj ułamki $$5/6$$ i $${11}/{13}$$ na dwa sposoby:

  1. Oblicz na kalkulatorze ich rozwinięcia dziesiętne i porównaj je.
  2. Sprowadź je do wspólnego mianownika i porównaj je.

$$ 5/6={65}/{78}=0,8(3) $$ $$ {11}/{13}={66}/{78}=0,(846153) $$

  1. rozwinięcia dziesiętne:
    $$ 0,8(3) < 0,(846153)$$
  2. po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
    $$ {65}/{78} < {66}/{78} $$

Zadanie 3.

  1. Podaj najmniejszą liczbę naturalną, która po zaokrągleniu do dziesiątek ma wartość 2840.
  2. Jaka jest największa liczba naturalna, która po zaokrągleniu do setek wynosi 1900?
  1. Najmniejsza taka liczba to 2835 bo $$2835≈2840$$, a $$2834≈2830$$.
     
  2. Największa taka liczba to 1949 bo $$1949≈1900$$, a $$1950≈2000. $$

Zadanie 4.

Liczbę 2 przedstaw jako:

  1. sumę dwóch różnych liczb dodatnich,
  2. sumę trzech różnych liczb dodatnich,
  3. iloczyn dwóch różnych liczb dodatnich,
  4. iloczyn dziesięciu różnych liczb dodatnich
  1. $$ 2=1+1 $$
  2. $$ 2=0,5+0,5+1 $$
  3. $$ 2=0,2×10 $$
  4. $$ 2=0,8×0,5×0,5×0,00001×10×10×10×10×10×10 $$

Zadanie 5.

Oblicz:

  1. $$2/3$$ godziny - ile to minut?
  2. $$7/{50}$$ kilometra - ile to metrów?
  3. $$0,02$$ kilograma - ile to gramów?
  1. $$ 2/3 h= 2/3×60 min=40 min $$
  2. $$ 7/{50} km=7/{50}×1000 m=140 m $$
  3. $$ 0,02 kg=0,02×1000 g=20 g $$

Zadanie 6.

Zawartość 24 butelek o pojemności 0,3 litra i 18 butelek o pojemności 0,25 litra przelano do zbiornika o pojemności 13,5 litra. Zawartość ilu butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze do zbiornika?

$$ 13,5-(24×0,3+18×0,25)=13,5-(7,2+4,5)=13,5-11,7=1,8 l $$ -> tyle zostało jeszcze miejsca w zbiorniku

$$ {1,8}/{0,3}=6 $$ -> zawartość tylu butelek zmieści się jeszcze w zbiorniku

Odp.: Zawartość 6 butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze w tym zbiorniku.
 

zbiór-zadań.pl

Partnerzy:

Matma4u.pl Młodzieżowa Rada Dzielnicy Śródmieście mambu.pl - www
Rozwiń

Pomoc on-line

Jeśli masz jakikolwiek problem z obsługą usług dostępnych na naszej stronie utworzyliśmy pomoc on-line. Poprzez poniższy adres e-mail można zgłaszać błędy na stronie, propozycje dodatkowych zadań, a także zapytać o szczgóły rozwiązania. Zachęcamy również do skorzystania z czatu z naszym konsultantem.


kontakt@kochammatematyke.pl

Otwórz czat on-line