Szkoła Podstawowa / V Klasa / Figury na płaszczyźnie

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    przecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$.

    prostopadle
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    rownolegle
     

Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

wnetrze

  Zobacz w programie GeoGebra


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
     
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry

     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
     
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    zerowy
     
  7. Kąt wypukły – jeżeli dowolne dwa punkty należące do kata, ale nie należące do jego ramion, można połączyć odcinkiem, który nie przetnie ramion kąta, to taki kąt nazywamy wypukłym. Kąt wypukły ma co najwyżej 180°.

    Przykłady kątów wypukłych: kąt ostry, kąt prosty, kąt zerowy.

    wypukly
     
  8. Kąt wklęsły – kąt, który nie jest wypukły, to znaczy kąt, w którym odcinek łączący dwa punkty należące do kąta, przetnie ramiona tego kąta. Kąt wklęsły ma więcej niż 180° a mniej niż 360°.

    Przykłady kątów wklęsłych: kąt pełny.
     

    wklesly
     

Zależności między kątami

  1. Kąty przyległe – maja wspólne ramię i wspólny wierzchołek, a ich pozostałe ramiona wzajemnie się przedłużają (uzupełniają się do prostej).

    kąty przyległe
     

    Suma miar kątów przyległych wynosi 180° (tworzą kąt półpełny).
     

    przylegle-suma
     
  2. Kąty wierzchołkowe – mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona wzajemnie się przedłużają. Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

    Kąty wierzchołkowe

    Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe są parami równe.
     

    wierzcholkowe2
     
  3. Kąty odpowiadające. Jeżeli mamy dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą, to kątami odpowiadającymi są następujące pary kątów (patrz poniższy rysunek):

    odpowiadajace
     

    • kąt 1 i kąt 5
    • kąt 4 i kąt 8
    • kąt 2 i kąt 6
    • kąt 3 i kąt 7


    Kąty odpowiadające mają takie samy miary.
     

  4. Kąty naprzemianległe. Jeżeli mamy dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą, to kątami naprzemianległymi są następujące pary kątów (patrz poniższy rysunek): 

    odpowiadajace
     

    • kąt 1 i kąt 7
    • kąt 2 i kąt 8
    • kąt 4 i kąt 6
    • kąt 3 i kąt 5


    Kąty naprzemianległe są parami równe.

 

Wielokąty

Wielokąt to część płaszczyzny ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną.

  Przypomnienie

Łamana to figura zbudowana z odcinków w taki sposób, że koniec jednego odcinka jest początkiem następnego odcinka. Jeśli pierwszy wierzchołek łamanej pokrywa się z ostatnim, to łamaną nazywamy zamkniętą.

Inaczej mówiąc: wielokąt to figura, która ma tyle samo boków, wierzchołków i kątów.

Wielokąt, który ma trzy kąty (a tym samym trzy boki i trzy wierzchołki) to trójkąt. Wielokąt, który ma cztery kąty (a tym samym cztery boki i cztery wierzchołki) to czworokąt, wielokąt, który ma pięć kątów (a tym samym pięć boków i pięć wierzchołków) to pięciokąt itd.

Ogólnie wielokąt mający n boków (a tym samym n kątów i n wierzchołków) nazywamy n-bokiem lub n-kątem.

wielokąt

Wierzchołki wielokąta to końce odcinków łamanej. Odcinki łamanej to boki wielokąta. Kąty wyznaczone przez dwa kolejne boki wielokąta to kąty wewnętrzne wielokąta.

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Odcinek, niebędący bokiem, łączący dwa wierzchołki to przekątna wielokąta. Inaczej mówiąc, przekątna to odcinek łączący nie sąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta.

przekątna wielokąta

 

Wielokąt wypukły – wielokąt, którego każde dwa punkty można połączyć odcinkiem zawartym w tym wielokącie, to znaczy każdy odcinek zawiera się całkowicie w wielokącie. Patrz poniższy rysunek – figura $$f_1$$. Przykłady wielokątów wypukłych: trójkąt, kwadrat, prostokąt.

Wielokąt wklęsły – wielokąt, który nie jest wypukły, to znaczy wielokąt, którego każde dwa punkty nie można połączyć odcinkiem zawartym w tym wielokącie, to znaczy istnieje choć jeden odcinek (o końcach w wielokącie), taki że część odcinka leży poza wielokątem. Patrz poniższy rysunek – figura $$f_2$$.

wielokaty
 

Trójkąty i jego kąty wewnętrzne

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach (a tym samym o trzech wierzchołkach i o trzech kątach).
Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180°.

miary kątów w trójkącie

$$α + β + γ = 180°$$

 

Rodzaje trójkątów:

  1. Trójkąt ostrokątny - ma wszystkie kąty ostre.

    Trójkąt ostrokątny
  2. Trójkąt prostokątny - ma jeden kąt prosty i dwa kąty ostre.

    Trójkąt prostokątny
  3. Trójkąt rozwartokątny - ma jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

    Trójkąt rozwartokątny
  4. Trójkąt równoramienny - ma dwa boki (ramiona) równej długości.

    Trójkąt równoramienny

    W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę.

    rownoramienny
  5. Trójkąt równoboczny - ma wszystkie boki równej długości.

    trojkat-rownoboczny

Wysokość trójkąta

W dowolnym trójkącie odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego przeciwległym bokiem i będący do niego prostopadły, nazywamy wysokością trójkąta.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
W trójkącie prostokątnym, wysokościami są dwie przyprostokątne.

wysokosc trojkata

 

Czworokąty i ich kąty wewnętrzne

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach (a tym samym o czterech wierzchołkach i o czterech kątach). Przykłady czworokątów: prostokąt, kwadrat, romb, równoległobok, trapez.

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta. Dowolny czworokąt można podzielić przy pomocy przekątnej na dwa trójkąty. Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180°.

Zatem suma miar kątów czworokąta jest równa $$2•180°= 360°$$. Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360°.

Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi.

  Czytaj więcej o prostokątach

Przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie.

Prostokąt

Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

  Czytaj więcej o kwadratach

Przekątne kwadratu mają równe długości, przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Przekątne tworzą z bokami kwadratu kąt 45°.

Kwadrat

Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Przeciwległe boki są równoległe i mają równą długość. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.

Równoległobok

Miary kątów w równoległobokach: w równoległoboku kąty leżące naprzeciwko siebie mają równe miary, a suma miar kątów przy tym samym boku wynosi 180°.
Prostokąt jest równoległobokiem, ale równoległobok nie musi być prostokątem.

Wysokość równoległoboku - odcinek łączący dwa równoległe boki i prostopadły do nich.

wysokosc-rownolegloboku

Romb

Romb to równoległobok, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe.

Romb

Kwadrat jest rombem, ale romb nie musi być kwadratem.

Trapezy

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy, a pozostałe boki to ramiona.

Trapez

Równoległobok jest trapezem, ale trapez nie musi być równoległobokiem. W trapezie suma miar kątów przy tym samym ramieniu wynosi 180°.

Rodzaje trapezów:

  • Trapez równoramienny - ma ramiona równej długości; kąty przy podstawie mają równą miarę.

    Trapez równoramienny
  • Trapez prostokątny - jedno z ramion tego trapezu jest prostopadłe do podstawy.

    Trapez prostokątny

Wysokość trapezu - odcinek łączący dwie równoległe podstawy i prostopadły do nich.

wysokosc-trapezu

Figury przystające

Gdy figury mają jednakowy rozmiar i jednakowy kształt, to są to figury przystające.

Inaczej mówiąc: dwie figury są przystające, jeżeli jedną z nich można tak przenieść, że pokryje się z drugą.
 

Przykłady:

Figury przystające
Figury przystające
Figury przystające

Przykłady:

  • Odcinki takiej samej długości są przystające.
  • Prostokąty o jednakowych wymiarach są figurami przystającymi.
  • Dwa koła o takim samym promieniu są figurami przystającymi.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Jak długi jest bok kwadratu o obwodzie 180 cm?

$$Obw=4a $$

$$180 cm=4a$$ -> $$ a=45 cm $$

Odp: Bok tego kwadratu ma długość $$45 cm$$.

Zadanie 2.

Jak inaczej nazywa się trapez prostokątny równoramienny?

Odp.: Trapez prostokątny równoramienny to inaczej prostokąt.

Zadanie 3.

W trapezie równoramiennym kąt rozwarty jest o 10° większy od kąta ostrego. Jakie miary mają kąty w tym trapezie?

$$α,β$$ -> szukane kąty w tym trapezie przy jednym ramieniu

„Suma miar kątów w trapezie przy jednym ramieniu wynosi 180°.”

$$α+β=180°$$

$$α+(α+10°)=180°$$

$$2α=170°$$ -> $$α=85°$$ $$β=85°+10°=95°$$

Odp.: Miary kątów w tym trapezie wynoszą $$85°$$, $$95°$$, $$85°$$ i $$95°$$.

Zadanie 4.

W trójkącie prostokątnym, jeden z kątów ostrych wynosi 18°. Jaką miarę ma drugi kąt ostry w tym trójkącie?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”

α – szukany kąt ostry trójkąta prostokątnego

$$90° + 18° + α = 180°$$

$$108° + α = 180°$$ | $$-108°$$

$$α=180°−108°$$
$$α=72°$$

Odp.: Drugi kąt ostry w trójkącie ma miarę 72°.

Zadanie 5.

W równoległoboku kąt ostry ma miarę pięć razy mniejszą niż kąt rozwarty. Jakie miary kątów mają kąty tego równoległoboku?

$$α$$ -> kąt ostry w równoległoboku

$$5α$$ -> kąt rozwarty w równoległoboku

„Suma miar kątów przy tym samym boku w równoległoboku wynosi 180°.”

$$180°=5α+α $$

$$6α=180°$$ -> $$α=30°$$ -> $$5α=150°$$

Odp.: Miary kątów w tym równoległoboku wynoszą $$30°$$, $$150°$$, $$30°$$ i $$150°$$.

Zadanie 6.

Dwa kąty w trójkącie mają miary $$15°$$ i $$38°$$. Jaką miarę ma trzeci kąt?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”
α - szukany trzeci kąt trójkąta

$$α + 15° + 38° = 180°$$

$$α +53° = 180°$$ | $$-53°$$
$$α=180° - 53°$$

$$α=127°$$

Odp: Trzeci kąt w trójkącie ma miarę 127°.

zbiór-zadań.pl

Partnerzy:

Matma4u.pl Młodzieżowa Rada Dzielnicy Śródmieście mambu.pl - www
Rozwiń

Pomoc on-line

Jeśli masz jakikolwiek problem z obsługą usług dostępnych na naszej stronie utworzyliśmy pomoc on-line. Poprzez poniższy adres e-mail można zgłaszać błędy na stronie, propozycje dodatkowych zadań, a także zapytać o szczgóły rozwiązania. Zachęcamy również do skorzystania z czatu z naszym konsultantem.


kontakt@kochammatematyke.pl

Otwórz czat on-line