Portal w budowie! Premiera 1 września, zapraszamy!

Szkoła Podstawowa / V Klasa / Figury na płaszczyźnie

Proste prostopadłe i równoległe

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste prostopadłe

    Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy, że są do siebie prostopadłe. Kąt utworzony przez te dwie proste musi wynosić 90°. Prostopadłość zapisujemy za pomocą znaku $$⊥$$.

    img02
  2. Proste równoległe

    Gdy proste nie przecinają się i padają pod tym samym kątem, wówczas mówimy, że są do siebie równoległe. Równoległość zapisujemy za pomocą znaku $$∥$$.

    img03

    Odległość między dwoma prostymi równoległymi to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste, czyli do nich prostopadłego.

Kąty

Dwie półproste wychodzące z wspólnego punktu tworzą kąt. Kąt składa się z dwóch ramion i jednego wierzchołka. Miarę kąta, czyli jego wielkość, podaje się w stopniach ($$°$$).

img02

Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  1. Kąt ostry - jest mniejszy od kąta prostego.

    img05
  2. Kąt prosty - ramiona tego kąta są prostopadłe.

    img06
  3. Kąt rozwarty - jest większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego.

    img07
  4. Kąt półpełny - ramiona tego kąta tworzą prostą.

    img08
  5. Kąt pełny - ramiona tego kąta pokrywają się.

    img09
  6. Kąt wklęsły - jest większy od kąta półpełnego i mniejszy od kąta pełnego.

    img10
 

Zależności między kątami

Zależności między kątami:

  1. Kąty przyległe - suma ich miar wynosi 180° (tworzą kąt półpełny).

    img11
  2. Kąty wierzchołkowe - mają takie same miary.

    img14
  3. Kąty odpowiadające - mają takie same miary.

    img12
  4. Kąty naprzemianległe - posiadają takie same miary.

    img13
 

Wielokąty

Wielokąt to figura, która ma tyle samo boków, wierzchołków i kątów. Boki wielokąta to odcinki. Wielokąt, który ma trzy kąty to trójkąt, cztery kąty to czworokąt, pięć kątów to pięciokąt itd….

img15

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Odcinek, niebędący bokiem, łączący dwa wierzchołki to przekątna.

img16

Trójkąty

Rodzaje trójkątów:

  1. Trójkąt ostrokątny - ma wszystkie kąty ostre.

    img17
  2. Trójkąt prostokątny - ma jeden kąt prosty i dwa kąty ostre.

    img18

    Bok leżący naprzeciwko kąta prostego to przeciwprostokątna, a dwa pozostałe boki leżące przy kącie prostym, to przyprostokątne.

  3. Trójkąt rozwartokątny - ma jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

    img19
  4. Trójkąt równoramienny - ma dwa boki (ramiona) równej długości.

    img20
  5. Trójkąt równoboczny - ma wszystkie boki równej długości.

    img21
 

Miary kątów w trójkącie

  1. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180°.

    img22

    $$α+β+γ=180°$$

  2. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę.

    img23
  3. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę 60°.

    img24
 

Prostokąty i kwadraty

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. Przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie.

img25

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne kwadratu mają równe długości, przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe.

img26

Równoległoboki i romby

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.

img27

Romb to równoległobok, który ma wszystkie boki równej długości. Przekątne rombu przecinają się w połowie i są prostopadłe.

img28

Miary kątów w równoległobokach:

W równoległoboku kąty leżące naprzeciwko siebie mają równe miary, a suma miar kątów przy tym samym boku wynosi 180°.

Trapezy

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy, a pozostałe boki to ramiona.

img29
  1. Trapez równoramienny - ma ramiona równej długości.

    img30
  2. Trapez prostokątny - jedno z ramion tego trapezu jest prostopadłe do podstawy.

    img31

Miary kątów w trapezach:

W trapezie suma miar kątów przy tym samym ramieniu wynosi 180°.

Zapamiętaj!

Każdy równoległobok to trapez.
 

Figury przystające

Gdy figury mają jednakowy rozmiar i jednakowy kształt, to są to figury przystające.

img34
img32
img33
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Jak długi jest bok kwadratu o obwodzie 180 cm?

$$Obw=4a $$

$$180 cm=4a$$ -> $$ a=45 cm $$

Odp: Bok tego kwadratu ma długość $$45 cm$$.

Zadanie 2.

Jak inaczej nazywa się trapez prostokątny równoramienny?

Odp.: Trapez prostokątny równoramienny to inaczej prostokąt.

Zadanie 3.

W trapezie równoramiennym kąt rozwarty jest o 10° większy od kąta ostrego. Jakie miary mają kąty w tym trapezie?

$$α,β$$ -> szukane kąty w tym trapezie przy jednym ramieniu

„Suma miar kątów w trapezie przy jednym ramieniu wynosi 180°.”

$$α+β=180°$$

$$α+(α+10°)=180°$$

$$2α=170°$$ -> $$α=85°$$ $$β=85°+10°=95°$$

Odp.: Miary kątów w tym trapezie wynoszą $$85°$$, $$95°$$, $$85°$$ i $$95°$$.

Zadanie 4.

W trójkącie prostokątnym, jeden z kątów ostrych wynosi 18°. Jaką miarę ma drugi kąt ostry w tym trójkącie?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”

$$90°+18°+α=180°$$

$$α=180°-108°$$ -> $$α=72°$$

Odp.: Drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę $$72°$$.

Zadanie 5.

W równoległoboku kąt ostry ma miarę pięć razy mniejszą niż kąt rozwarty. Jakie miary kątów mają kąty tego równoległoboku?

$$α$$ -> kąt ostry w równoległoboku

$$5α$$ -> kąt rozwarty w równoległoboku

„Suma miar kątów przy tym samym boku w równoległoboku wynosi 180°.”

$$180°=5α+α $$

$$6α=180°$$ -> $$α=30°$$ -> $$5α=150°$$

Odp.: Miary kątów w tym równoległoboku wynoszą $$30°$$, $$150°$$, $$30°$$ i $$150°$$.

Zadanie 6.

Dwa kąty w trójkącie mają miary $$15°$$ i $$38°$$. Jaką miarę ma trzeci kąt?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”

$$ α+15°+38°=180° $$

$$ α+53°=180°$$ -> $$ α=127° $$

Odp: Trzeci kąt w tym trójkącie ma miarę $$ 127°$$.

Sprawdzian po 6. klasie

Sonda