Figury na płaszczyźnie

Trójkąty

 

Oto kilka najważniejszych własności i wzorów, które powinieneś zapamiętać.

  • Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

  • Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych.

  • W trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

  • Wzór na pole trójkąta to $$P=1/2 ah $$

Wzory dotyczące trójkąta równobocznego:

$$ P={a^2 √3}/4 $$
$$ P={h^2 √3}/3 $$
$$ h={a√3}/2 $$

Zależności boków w trójkątach prostokątnych o kątach 60° i 30° oraz 45° i 45°.

306090
454590

Czworokąty

 

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

 

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie okręgów

 

Dwa okręgi mogą być: rozłączne, przecinające się, styczne wewnętrznie i zewnętrznie.

Okręgi rozłączne - nie mają punktów wspólnych

rozlaczne

Okręgi przecinające się - mają dwa punkty wspólne

przcinajace

Okręgi styczne wewnętrznie - mają jeden punkt wspólny

wewnterznie

Okręgi styczne zewnętrznie - mają jeden punkt wspólny

zewnetrznie
 

Wielokąty i okręgi

 

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symterie

 

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Komentarze