Elementy algebry

  Ciekawostka

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności, i którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań. Odkąd symbole literowe pojawiły się w arytmetyce, algebra przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak właśnie rozumie się obecnie algebrę.

Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX w.) i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami.

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia zbudowane z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • $$x + 5$$
  • $$x^2-y^2$$
  • $$2+a$$
  • $$3x-5y$$
  • $$y^2$$
  • $$1/2 ah$$
  • $$- 3/4$$

  Uwaga

Wyrażenie 3•x oznacza to samo 3x (kropkę jako znak mnożenia opuszczamy).
Wyrażenie 3•(m+n)oznacza to samo 3(m+n).

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
$$3 + b$$ Suma liczb 3 i b
$$a + b$$ Suma liczb a i b
$$a - b$$ Różnica liczb a i b
$$x•y$$ Iloczyn liczb x i y
$$m÷2$$ Iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
2y Podwojona liczba y
Liczba dwa razy większa od y
(podwoić znaczy pomnożyć przez 2)
(jest to po prostu iloczyn liczb 2 i y)
3b Potrojona liczba b
Liczba trzy razy większa od b
(potroić znaczy pomnożyć przez 3)
(jest to prostu iloczyn liczb 3 i b)
$$1/2 a$$ Połowa liczby a
$$1/3 x$$ Trzecia część liczby x
$$x^2$$ Kwadrat liczby x
$$y^3$$ Sześcian liczby y
$$-2xy$$ Iloczyn liczb -2, x i y
$$x-12$$ Różnica liczb x i 12
Liczba o 12 mniejsza od x

  Uwaga

Nieznane liczby (niewiadome) zastępowane są w matematyce literami.

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $$3a+9-2b$$ dla $$a=2$$ i $$b=-3$$.

    $$3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $$1/2•x$$, $$3b^2$$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $$3b^2 + 1$$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $$x•(-3)•y•2=-6xy$$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $$3x^3$$, $$-5x^3$$, 4,$$5x^3$$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $$3x^2 + 5x^2 = 8x^2$$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $$7a+8c−9+k$$.

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to wyrazy sumy algebraicznej różniące się tylko współczynnikiem liczbowym. Redukcja wyrazów podobnych to ich dodawanie lub odejmowanie.

Przykład redukcji wyrazów podobnych:

  • $$2xy+6z-10xy+z-k$$ -> wyrazy podobne: $$2xy$$, $$(-10xy)$$ oraz $$6z$$, $$z$$

    $$2xy+6z-10xy+z-k=2xy-10xy+6z+z-k=-10xy+7z-k $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $$2a+9$$
  2. $$b-a$$
  3. $$x•y$$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $$3a^3+7-6b$$.

$$3a^3+7-6b$$ -> jednomiany: $$3a^3$$, $$7$$, $$-6b$$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $$ 2a-3a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x $$
  1. $$ 2a-3a=-a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $$

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$$a$$ -> jedna przyprostokątna

$$a-3$$ -> druga przyprostokątna

$$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $$

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe $${a^2-3a}/2$$ [$$j^2$$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $$3x+2$$; $$3x-1$$; $$3x+8$$.

$${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $$3x+3$$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $$2/5a • 2,5a •(-5)a$$.

$$2/5 a • 2,5a • (−5)a$$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $$2/5$$ na ułamek dziesiętny:
$$2/5= 4/{10}= 0,4$$

Możemy zapisać:
$$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $$-5a^3$$.

Komentarze