Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu

 

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

wzór na długość okręgu („l”):

$$l=2πr$$ , gdzie r oznacza długość promienia okręgu

przykład:
dla $$r=5cm$$, $$l=2π×5=10π$$ $$cm^2$$
 

okreg

Liczba π (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu do długości średnicy i w przybliżeniu wynosi 3.14 lub 22/7.
Liczba π jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Oblicz długość okręgu którego promień wynosi 5.

$$r=5$$
$$ l=2πr=2×5×π=10π $$
 

Pole koła

 

Koło, tak samo jak kwadrat, trójkąt czy prostokąt, też ma swoje pole.

Wzór na pole koła („P”):

$$P=πr^2=π×r^2$$ , gdzie r oznacza długość promienia koła

okreg

Przykład:

Oblicz pole koła którego promień wynosi 3.

$$ r=3 $$
$$ P=πr^2=π×3^2=9π $$
 

Wycinek koła lub okręgu

 

Wycinek koła lub okręgu to pewna część koła lub okręgu. Wyznaczają go dwa promienie wychodzące ze środka koła.

wycinekkola

$$ r $$ – promień wycinku koła lub okręgu
$$ β $$ – kąt środkowy wycinka

Długość łuku wycinka okręgu:

$$ l=β/360°×2πr $$
 

Pole wycinka koła:

$$ P=β/360°×πr^2 $$

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Komentarze