Bryły

Graniastosłupy

 

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

 

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

 

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymuje się poprzez obrót prostokąta. Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła. Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki to średnica podstawy i wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

walec

Objętość walca:

$$V=P_p×H$$
$$V=πr^2×H$$

$$V$$ -> objętość walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Pole powierzchni całkowitej walca:

$$P_c=2P_p+P_b$$
$$P_c=2πr^2+2πr×H$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Stożek

 

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

$$V=1/3 P_p×H$$
$$V=1/3 πr^2×H$$

$$V $$ -> objętość stożka

$$r $$ -> promień podstawy

$$H $$ -> wysokość stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

$$P_c=P_p+P_b$$
$$P_c=πr^2+πrl$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ -> promień podstawy

$$l$$ -> tworząca stożka

 

Kula

 

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Komentarze